\label{sect:teoria}

Antes de que se explique concretamente lo realizado en este trabajo, es necesario
entender la teor'ia detr'as del mismo. Una parte importante de 'esta es lo que se
refiere a \emph{cuadrados m'inimos}, en particular \emph{cuadrados m'inimos 
lineales}. No se explicar'an aqu'i los conceptos previos necesarios para entender
 la teor'ia de cuadrados m'inimos. Para esto, se recomienda alg'un libro de 
an'alisis num'erico, como por ejemplo ~\cite{BurFa}.

El m'etodo de los cuadrados m'inimos pertenece a lo que se conoce bajo el nombre
de \textit{teor'ia de la aproximaci'on}. Consid'erese el problema de estimar los 
valores de una funci'on en puntos no tabulados si contamos con los datos 
experimentales. Se intenta obener la mejor aproximaci'on lineal a estos puntos.

El m'etodo de cuadrados m'inimos para resolver este problema requiere determinar
la mejor l'inea de aproximaci'on, cuando el error es la suma de los cuadrados de 
las diferencias entre los valores de $y$ en la l'inea de aproximaci'on y los 
valores de $y$ dados. Por tanto, hay que encontrar la constantes $a_{0}$ y 
$a_{1}$ que reduzcan al m'inimo el error de cuadrados m'inimos:

\[
E_{2}(a_{0}, a_{1}) = \sum_{i=1}^{n} [ y_{i} - (a_{1} x_{i} + a_{0}) ]^{2}
\]

donde $a_{1}x_{i} + a_{0}$ es el $i$-'esimo valor de la recta de aproximaci'on 
y $y_{i}$ el $i$-'esimo valor dado para $y$.

El m'etodo de cuadrados m'inimos es el procedimiento m'as adecuado para 
determinar las mejores aproximaciones lineales, pero hay importantes 
consideraciones te'oricas que lo favorecen. El m'etodo minimax (explicado en 
\cite{BurFa}) generalmente le da demasiado valor relativo a un peque'no elemento 
de datos que contiene un gran error. El m'etodo que utiliza la desviaci'on 
absoluta (tambi'en explicado en \cite{BurFa}) simplemente promedia el error en 
varios puntos, sin dar suficiente valor relativo a un punto que est'a muy alejado 
de la aproximaci'on. El m'etodo de cuadrados m'inimos concede mayor valor 
relativo al punto que est'a alejado del resto de los datos, pero no permitir'a 
que ese punto domine enteramente la aproximaci'on. 

Una raz'on m'as para usar cuadrados m'inimos es estudiar la distribuci'on 
estad'istica del error. (ver \cite{Lar}).

El problema de ajustar la mejor recta con cuadrados m'inimos a una colecci'on 
de datos $\{(x_{i}, y_{i})\}^{m}_{i=1}$ implica minimizar el error total, 

\[
E \equiv E_{2}(a_{0}, a_{1}) = \sum_{i=1}^{n} [ y_{i} - (a_{1} x_{i} + a_{0}) ]^{2}
\]

con respecto a los par'ametros $a_{0}$ y $a_{1}$. Para que haya un m'inimo, 
debemos tener 

\[
0 = \frac{\partial}{\partial a_{0}} \sum_{i=1}^{m} [ y_{i} - (a_{1} x_{i} - a_{0}) ]^{2} = 
2 \sum_{i=1}^{m} (y_{i} - a_{1} x_{i} - a_{0}) (-1)
\]

y

\[
0 = \frac{\partial}{\partial a_{1}} \sum_{i=1}^{m} [ y_{i} - (a_{1} x_{i} - a_{0}) ]^{2} = 
2 \sum_{i=1}^{m} (y_{i} - a_{1} x_{i} - a_{0}) (-x_{i}).
\]

Estas ecuaciones se simplifican en las \texttt{ecuaciones normales}:

\[
a_{0} m + a_{1} \sum_{i=1}^{m} x_{i} = \sum_{i=1}^{m} y_{i}
\]

y 

\[
a_{0} \sum_{i=1}^{m} x_{i} + a_{1} \sum_{i=1}^{m} x_{i}^{2} 
= \sum_{i=1}^{m} x_{i} y_{i}
\]

La soluci'on de este sistema de ecuaciones es

\[
a_{0} = \frac{\sum_{i=1}^{m} x_{i}^{2} \sum_{i=1}^{m} y_{i} - \sum_{i=1}^{m} x_{i} y_{i} \sum_{i=1}^{m} x_{i} }
{m (\sum_{i=1}^{m} x_{i}^{2}) - (\sum_{i=1}^{m} x_{i})^{2}}
\]

y 

\[
a_{1} = \frac{m \sum_{i=1}^{m} x_{i} y_{i} - \sum_{i=1}^{m} x_{i} \sum_{i=1}^{m} y_{i} } 
{m (\sum_{i=1}^{m} x_{i}^{2}) - (\sum_{i=1}^{m} x_{i})^{2}}
\]

'Este m'etodo puede extenderse naturalmente para aproximar minimizando el 
error cuadr'atico medio (o la suma de los errores cuadr'aticos, que es lo
mismo) de la soluci'on de un sistema de ecuaciones sobredeterminado $Ax = b$
donde $A$ es una matriz de $n \times m$, $x$ un vector columna de $m \times 1$ 
y $b$ un vector columna de $n \times 1$. Notar que, escrito en forma matricial,
la soluci'on que minimiza el error cuadrado medio de dicho sistema es la 
soluci'on del sistema cuadrado $A^t A x = A^t b$ \cite{BurFa}. 
